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數學有什麼美麗而實用的定理?

凡是叫做“定理”的,都是已經被證明了的、有難度且有重要地位的結論(否則一般只稱為命題)。每個定理的證明都是數學中重要的一部分,在定理當中畢氏定理可以算得上美麗且實用的,首先,畢氏定理是刻畫直角三角形的最重要的性質定理,在理論推導和實際應用中都有很大的用武之地。然後,畢氏定理形式簡單,還很好記,證明還多種多樣。再者,畢氏定理發展由來已久,還有些很有趣的故事與之有關。

代數學基本定理

任意的一元 [公式] 次複係數方程在[公式] 內恰好有 [公式] 個解(部分解可能重合)。通常情況下,複數 [公式] 有兩種表示方法。一個是較為直接的形式 [公式],其中 [公式] 和 [公式] 是實數; [公式] 被稱為該複數的實部(Real part),而 [公式] 被稱為是虛部(Imaginary part);記 [公式] 和 [公式] 。然而,由於歐拉公式 [公式] ,任何複數也可以寫作 [公式] ,其中 [公式] 總是一個非負數,被稱為模長(Modulus),而弧度 [公式] 被稱為輻角(Argument);記 [公式] 和 [公式] 。兩種表示方法可以由下圖聯繫起來(黑點代表這個特定複數)。

線性空間

線性空間的定義比較抽象,簡單的說,就是向量組成的一個集合,這個集合可以定義加法以及純量乘法,並且對加法以及乘法滿足交換律結合律以及分配率。這個集合以及定義在集合上的代數運算就是線性空間。

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